Budaya Belajar Matematika

Banyak orang merasa kesulitan menguasai matematika. Pada sebuah program evaluasi murid internasional 2009, Amerika Serikat berada di peringkat 25 untuk penguasaan matematika. Seorang ibu di New Jersey ingin mengubah situasi tersebut, dimulai dengan ritual setiap malam.

Laura Overdeck tumbuh dengan mengenal angka. Ia selalu membantu menimbang bahan-bahan saat ibunya membuat kue, dan ia belajar dari ayahnya, yang senang membuat perkakas kayu di waktu luang. Matematika merupakan mata pelajaran favorit, dan ia mengambil jurusan astrofisika saat kuliah. Overdeck ingin anak-anaknya pandai dalam matematika juga.

“Ketika anak pertama kami berumur sekitar dua tahun, kami mulai memberinya soal matematika setiap malam, selain juga mendongeng sebelum tidur,” ujar Overdeck.

Biasanya yang diberikan adalah soal cerita, dengan subyek binatang, mobil atau permen yang mendorong si balita mengitung di luar kepala atau dengan jarinya. Overdeck mengatakan metode tersebut disukai dalam keluarganya.

“Anak ketiga kami, saat ia berumur dua tahun, berteriak bahwa ia ingin mendapat soal matematika karena ia melihat abang dan kakaknya melakukannya. Kami pikir, ‘Wow, matematika merupakan sesuatu yang menyenangkan di rumah kami, sesuatu yang dinanti sebelum tidur,’” kata Overdeck.

Pada Februari, setelah para kawan mulai memintanya mengirim soal-soal matematika untuk anak-anak mereka, Overdeck meluncurkan situs Internet www.bedtimemathproblem.org dan mengunggah soal matematika untuk anak setiap harinya. Sekarang, ia memiliki lebih dari 5.000 orang dalam daftar surat elektroniknya.

Ayah Oggie Stachelberg adalah pelanggan Bedtime Math.  Bagi Oggie, 8, soal matematika adalah permainan yang dinanti setiap malam, dan biasanya dilakukan setelah menyikat gigi.

Soal matematika malam ini dimulai dengan permainan logika mengenai lalu lintas Jumat malam sebelum beralih ke angka. Oggie sudah bersekolah, namun Overdeck senang memperkenalkan angka pada anak-anak sebelum mereka bersekolah.

Apa manfaat mengenalkan matematika pada anak-anak begitu dini?

Profesor psikologi University of Chicago Sian Beilock, yang juga ahli dalam masalah kegelisahan kinerja (performance anxiety), mengatakan bahwa jika pelajaran matematika diberikan lebih dini dengan cara yang menyenangkan dan akrab, lebih sedikit kemungkinan anak-anak akan panik saat mereka masuk sekolah dan menghadapi matematika.

“Anak-anak yang datang ke laboratorium saya menunjukkan bahwa mereka mulai merasa khawatir berhadapan matematika bahkan sejak kelas satu sekolah dasar,” ujar Beilock. “Riset memperlihatkan bahwa semakin sering orangtua menggunakan angka dengan anak-anaknya di setiap kesempatan, seperti ‘Kamu akan mendapat dua kue’ atau ‘Kita akan tidur siang selama 20 menit,’ maka kemampuan matematika anak-anak akan lebih baik di kemudian hari.”

Overdeck mengatakan bahwa ia ingin melihat perubahan budaya dalam matematika. “Anda terbiasa mendengar orang dewasa yang terpelajar sekalipun mengatakan, ‘Saya tidak pandai matematika,’ atau ‘Saya takut matematika.’ Dan itu dianggap sesuatu yang dapat diterima dari seseorang yang terpelajar. Namun Anda tidak pernah mendengar mereka mengatakan, ‘Saya tidak pandai membaca,’” ujar Overdeck.

Ia menambahkan bahwa ia ingin anak-anak dan orangtuanya lancar mengolah angka, seperti mereka lancar membaca buku Dr. Seuss atau Harry Potter.

Dimuat dari  VOA Indonesia

harapan sejati

Ketika hati berharap kesejatian cinta

Bersujud meneteskan sumpah setia

Saat ketidakpastian mendera

Menjerumuskan hati dalam keraguan

Menahan mengabdikan diri

Dari cinta lain yang memenjarakan kasih

Terdiam, terpaku tak hiraukan hidup

Mengunci kasih cinta sejati

Atas keputusan hakam penguasa cinta

kataku ini puisi

Tertunduk malu oleh dosa-dosaku

Ridhokah engkau untuk satu doaku

Aku selalu memohon untuk petunjuk-Mu

Janji yang hanya bisa aku ucapkan

Sesungguhnya aku bukan ingin menjadi munafik

Mimpi, hanyalah menjadi mimpi

Apakah mimpi ini membuatku bahagia atau sakit?

Ijinkan aku untuk tau

Dan ikhlaskan aku di sisi-Mu

Malam mengurung kesunyian

Tersimpan rahasia takdir

Terpecah dengan sujud dan dzikir

Tabir pembungkus jiwa

Meraih hati sedalam kehidupan

Menggenggam erat cinta sejati

Dari petunjuk yang telah pasti

Menguap mengudarakan kasih

Membumbung meneduhimu menjalani kehidupan

Persamaan Differensial dalam Dunia Nyata

Bab 4

Aplikasi Pertama-order untuk Sistem Persamaan Diferensial Dunia Nyata

1.     Pendinginan / Pemanasan Hukum

2.     Populasi Pertumbuhan dan Peluruhan

3.     Radio-aktif Decay dan Karbon Kencan

4.     Campuran Dua Solusi Garam

5.     Seri Sirkuit

6.     Survivabilitas dengan AIDS

7.     Pengeringan tank

8.     Ekonomi dan Keuangan

9.     Matematika Perempuan Polisi

10. Distribusi Obat di Tubuh Manusia

11. Masalah Pursuit

12. Pemanenan Sumber Daya Alam Terbarukan

13. Latihan

Pada Bagian 1.4 kita telah melihat bahwa masalah-masalah dunia nyata dapat diwakili oleh orde pertama persamaan diferensial.

Dalam bab 2 kita telah membahas beberapa metode untuk memecahkan persamaan diferensial orde pertama. Kami memecahkan ini pertama-persamaan diferensial orde bab pemodelan fenomena pendinginan, pertumbuhan penduduk, peluruhan radioaktif, campuran larutan garam, sirkuit seri, bertahan hidup dengan AIDS, pengeringan tangki, ekonomi dan keuangan, distribusi obat, masalah mengejar dan pemanenan terbarukan sumber daya alam.

4.1 Pendinginan / Pemanasan hukum

Kita telah melihat dalam Bagian 1.4 bahwa formulasi matematis dari hukum empiris Newton pendinginan dari suatu obyek dalam yang diberikan oleh persamaan diferensial orde pertama-linear (1.17)

Ini adalah persamaan diferensial dipisahkan. Kami telah

atau ln | TT _m | = T + c ₁

atau T (t) = T _m + c ₂ e ^t (4.1)

Contoh 4.1: Ketika seekor ayam dihapus dari oven, suhu diukur pada 300 ⁰ F. Tiga menit kemudian suhunya 200 ^o F. Berapa lama waktu yang dibutuhkan ayam untuk mendinginkan ke suhu ruangan 70 ^o F.

Solusi: Pada (4.1) kita menempatkan T _m = 70 dan T = 300 di untuk t = 0.

T (0) = 300 = 70 + c ₂ e ^yang .0

Hal ini memberikan c ₂ = 230

Untuk t, = 3 T (3) = 200

Sekarang kita menempatkan t = 3, T (3) = 200 dan c ₂ = 230 dalam (4.1) maka

200 = 70 + 230 e ^suatu .3

atau 

atau 

atau 

Jadi T (t) = 70 230 ^e-0.19018t (4.2)

Kami mengamati bahwa (4,2) melengkapi tidak ada solusi yang terbatas untuk T (t) = 70 sejak

Batas T (t) = 70.

  t ® ¥

Variasi suhu ditunjukkan secara grafis pada Gambar 4.1. Kita mengamati bahwa suhu membatasi adalah 70 ⁰ F. 

Gambar 4.1

4.2 Populasi Pertumbuhan dan Peluruhan

Kita telah melihat dalam bagian 1.4.1 bahwa persamaan diferensial

dimana N (t) menunjukkan populasi pada waktu t dan k adalah konstanta proporsionalitas, berfungsi sebagai model untuk pertumbuhan penduduk dan kerusakan serangga, hewan dan populasi manusia di tempat-tempat tertentu dan durasi.

Solusi dari persamaan ini adalah

_{N (t) = Ce} ^kt, _{di mana C adalah konstanta integrasi:}

Mengintegrasikan kedua belah pihak kita mendapatkan

lnN (t) = kt + ln C

atau 

atau N (t) = Ce ^kt

C dapat ditentukan jika N (t) diberikan pada waktu tertentu.

Contoh 4.2: Populasi komunitas diketahui meningkat pada laju yang sebanding dengan jumlah orang yang hadir pada waktu t. Jika populasi memiliki dua kali lipat dalam 6 tahun, berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk triple?

Solusi: Misalkan N (t) menyatakan populasi pada waktu t. Misalkan N (0) menyatakan populasi awal (populasi pada t = 0).

Solusi adalah N (t) = Ae ^kt, dimana A = N (0)

Ae ^6K = N (6) = 2N (0) = 2A

atau e ^6K = 2 atau k =  Dalam 2

Cari t ketika N (t) = 3A = 3N (0)

atau N (0) e ^kt = 3N (0)

atau 

atau ln 3 = 

atau t =  ~ 9,6 tahun (sekitar 9 tahun 6 bulan)

Contoh 4.3 Misalkan penduduk negara menurun pada tingkat sebanding dengan populasinya. Jika populasi telah menurun menjadi 25% dalam 10 tahun, berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk setengah?

Solusi: Fenomena ini dapat dimodelkan oleh 

Solusinya adalah

N (t) = N (0) e ^kt, di mana

N (0) pada populasi awal

Untuk t = 10, N (10) =  N (0)

 N (0) = N (0) e ^10k

atau e ^10k = 

atau k =  Dalam 

Set N (t) =  N (0)

atau t =  ~ 8.3 tahun kira-kira.

Contoh 4.4 Misalkan N (t) penduduk pada waktu t dan ₀ Misalkan N menyatakan populasi awal, yaitu, N (0) = N _0.

Cari solusi dari model

dengan kondisi awal

N (0) = N _o

Solusi: Ini adalah persamaan diferensial dipisahkan, dan solusinya adalah

Untuk menemukan A dan B, amati bahwa

Oleh karena itu, Aa + (B-BA) N ​​= 1. Karena persamaan ini berlaku untuk semua nilai N, kita melihat bahwa Aa = 1 dan B-BA = 0. Akibatnya, = A  , B = b / a, dan

 = 

Jadi

di = ln 

Hal ini dapat dibuktikan bahwa  selalu positif untuk 0 <t <∞. Karenanya

di = ln 

Mengambil eksponensial dari kedua sisi persamaan ini memberikan

^at = 

N ₀ (a BN-) ^at = (a-BN ₀₎ N

Membawa semua persyaratan yang melibatkan N ke sisi kiri dari persamaan ini, kita melihat bahwa

[A _BN-o + BN ₀ ^at] N (t) = e ₀ ^di

atau N (t) = 

4.3 Radio-aktif Decay dan Karbon Kencan

Sebagaimana dibahas dalam Bagian 1.4.2. zat radioaktif terurai pada laju yang sebanding dengan massanya. Angka ini disebut tingkat peluruhan. Jika m (t) mewakili massa substansi setiap saat, maka tingkat kerusakan  sebanding dengan m (t). Mari kita ingat bahwa waktu paruh suatu zat adalah jumlah waktu untuk itu untuk meluruh sampai satu-setengah dari massa awalnya.

Contoh 4.5. Sebuah isotop radioaktif memiliki massa 200mg awal, yang dua tahun kemudian adalah 50mg. Cari ungkapan untuk jumlah isotop yang tersisa setiap saat. Apa paruhnya?

Solusi: Misalkan m adalah massa isotop yang tersisa setelah tahun t, dan membiarkan-k konstanta proporsionalitas. Kemudian laju dekomposisi dimodelkan oleh

 = - Km,

mana tanda minus menunjukkan bahwa massa menurun. Ini adalah persamaan dipisahkan. Memisahkan variabel, mengintegrasikan, dan menambahkan sebuah konstanta dalam bentuk Inc, kita mendapatkan

lnm + Inc = - kt

Menyederhanakan,

lnmc = - kt (4.3)

atau mc = ^e-kt

atau m = c ₁ ^e-kt, di mana c ₁ = 

Untuk mencari c _1, ingat bahwa m = 200 saat t = 0. Menempatkan nilai-nilai dari m dan t dalam (4.3) kita mendapatkan

200 = c ₁ ^e-ko = c ₁ .1

atau c ₁ = 200

dan m ^=-kt 200E (4,4)

Nilai k sekarang mungkin ditentukan dari (4.4) dengan menggantikan t = 2, m = 150.

150 = 200 ^e-2k

atau 

atau-2k = ln 

Hal ini memberikan

 (0,2877) = 0,1438 »0,14

Massa isotop yang tersisa setelah t tahun kemudian diberikan oleh

m (t) = 200E ^{-. 1438t}

Waktu paruh t _h adalah waktu yang sesuai untuk m = 100mg.

Jadi

100 = 200 ^e-0.14t _h

atau  = ^E-0.14t _h

atau t _h = - 

Karbon Kencan: Kunci penanggalan karbon lukisan dan bahan-bahan lain seperti fosil dan batuan terletak pada fenomena radioaktivitas yang ditemukan pada pergantian abad. Ahli fisika Rutherford dan koleganya menunjukkan bahwa atom-atom dari unsur radioaktif tertentu yang tidak stabil dan bahwa dalam jangka waktu tertentu bagian tetap dari atom spontan hancur untuk membentuk atom-atom dari elemen baru. Karena radioaktivitas adalah properti dari atom, Rutherford menunjukkan bahwa radioaktivitas suatu zat adalah berbanding lurus dengan jumlah atom dari zat ini. Jadi, jika N (t) menunjukkan jumlah atom yang hadir pada waktu t, maka  , Jumlah atom yang hancur per satuan waktu, adalah proporsional ke N, yaitu,

 l N (4,5)

L konstan, yang positif, yang dikenal sebagai konstanta peluruhan zat. L yang lebih besar adalah, semakin cepat meluruh substansi.

Untuk menghitung waktu paruh zat dalam hal l, asumsikan bahwa pada waktu t = t _0, N (t ₀₎ = N _0. Solusi dari masalah nilai awal

 l N

N (t ₀₎ = N ₀ (4.6)

adalah

N (t) = N ₀ e ^- l (tt _o)

atau  e ^- l (tt _o)

Mengambil logaritma dari kedua belah pihak kita memperoleh

- L (Tt ₀₎ = ln  (4.7)

Jika  =  , Maka - l (tt ₀₎ = ln  , Sehingga

tt ₀ = 

Dengan demikian waktu paruh suatu zat adalah LN2 dibagi dengan konstanta peluruhan l.

Setengah-hidup banyak zat telah ditentukan dan dipublikasikan dengan baik. Sebagai contoh, setengah-hidup karbon-14 adalah 5568 tahun, dan setengah-hidup dari uranium 238 adalah 4,5 miliar tahun.

4.3.1 Catatan a) Dalam (4.5) l adalah positif dan konstanta peluruhan. Kami dapat menulis

persamaan (4.5) dalam bentuk

 l N, dimana l adalah konstan negatif, yaitu, l <0.

b) Dimensi l adalah waktu timbal balik. Ini t diukur dalam tahun, maka l memiliki dimensi tahun timbal balik, dan jika t diukur dalam menit, kemudian aku memiliki dimensi menit timbal balik.

c) Dari (4.7) kita dapat memecahkan

tt ₀ =  (4.8)

Jika t ₀ adalah waktu zat awalnya dibentuk atau diproduksi, maka usia substansi yang  . Para l konstanta peluruhan diketahui atau dapat dihitung dalam kebanyakan kasus. N dapat dihitung cukup biasanya. Perhitungan atau pra-pengetahuan dari N ₀ akan menghasilkan usia substansi.

Dengan penemuan Libby dibahas dalam Bagian 1.4.2. tingkat sekarang R (t) dari disintegrasi C-14 dalam sampel diberikan oleh R (t) = l N (t) = l N ₀ e ^- l t dan tingkat asli dari disintegrasi adalah R (o) = l N _0. Jadi

 sehingga

t =  (4.9)

d) Jika kita mengukur R (t), bahwa tingkat sekarang disintegrasi C-14 dalam arang dan mengamati bahwa R (o) harus sama dengan laju disintegrasi C-14 dalam jumlah yang sebanding kayu hidup maka kita dapat menghitung t usia arang.

e) Proses memperkirakan usia artefak disebut kencan karbon.

Contoh 4.6: Misalkan kita memiliki artefak, mengatakan sepotong kayu fosil, dan pengukuran menunjukkan bahwa rasio C-14 dengan karbon dalam sampel adalah 37% dari rasio lancar. Mari kita berasumsi bahwa kayu tersebut meninggal pada waktu 0, kemudian menghitung T waktu yang dibutuhkan untuk satu gram karbon radio aktif untuk pembusukan jumlah ini.

Solusi: Dengan model (1.10)

Ini adalah persamaan diferensial dipisahkan. Menulis dalam bentuk

Mengintegrasikannya untuk mendapatkan

Dalam | m | = kt + c

Karena massa adalah positif, LML = m dan

ln (m) = kt + c.

Lalu

m (t) = e ^{kt + c} = Ae ^kt, di mana A = e ^c adalah konstanta positif. Biarkan pada suatu waktu, yang ditunjuk pada waktu nol, ada gram M hadir. Ini disebut massa awal. Lalu

m (o) = A = M, sehingga

m (t) = Me ^kt.

Jika pada beberapa T waktu kemudian kita menemukan bahwa ada M _T gram, maka

m (T) = M _T = Aku ^kT.

Lalu

karenanya

Ini memberi kita k dan menentukan massa setiap saat:

m (t) = 

Misalkan T = l menjadi waktu di mana setengah dari massa telah memancarkan diri, yaitu, setengah hidup. Pada saat ini, setengah dari massa tetap, sehingga M _T = M / _T 2 dan M / M =  .

Sekarang ekspresi massa menjadi

m (t) = 

atau m (t) = 

Paruh C-14 adalah sekitar tahun 5600, yaitu,

l = 5600

»Berarti kira-kira sama (semua tempat desimal tidak terdaftar).

Oleh karena itu

m (t) = ^{Me-0.00012378t}

atau 

oleh kondisi tertentu yang  adalah .37 selama t.

\ T = -  8031 tahun kira-kira.

Contoh 4.7 (a) Sebuah tulang fosil yang ditemukan mengandung seperseribu jumlah asli dari C-14. Menentukan umur fosil.

(B) Gunakan informasi yang diberikan dalam bagian (a) untuk menentukan umur perkiraan sepotong kayu ditemukan dalam sebuah penggalian arkeologis di situs untuk lukisan prasejarah tanggal dan menggambar di dinding dan langit-langit gua di Lascaux, Prancis, asalkan 85,5% dari C-14 telah membusuk.

Solusi: a. Persamaan diferensial terpisahkan

 , Di mana k adalah konstanta proporsionalitas pembusukan, model fenomena seperti didiskusikan di atas.

Solusinya adalah

N (t) = N ₀ e ^kt (katakanlah l =-k, jika kita ingin menempatkan dalam bentuk pembahasan di atas).

Paruh C-14 adalah sekitar 5600 tahun

 = N (5600)

atau  N ₀ = N ₀ e ^5600k. Dengan membatalkan N ₀ dan mengambil logaritma dari kedua belah pihak kita

atau k = -  = -0,00012378

Oleh karena itu

N (t) = N ₀ ^{e-0.00012378t}

Dengan N (t) =  kami telah

 N ₀ = N ₀ ^{e-0.00012378t}

-0.00012378t = ln  = - Ln 1000. Jadi

b.     Misalkan N (t) = N ₀ e ^kt mana k = -0,00012378 dengan bagian (a).

85,5% dari C-14 telah membusuk, yaitu,

N (t) = 0,145 N ₀

atau N ₀ e ^{- 0.00012378t} = 0,145 Tidak ada

Mengambil logaritma dari kedua belah pihak dan memecahkan untuk t, kita mendapatkan

t »15.600 tahun

4.4 Campuran Dua Solusi Garam

Contoh. 4,8 tangki berisi 300 liter cairan di mana 20 gram garam terlarut. Air garam yang mengandung 1 gram garam per liter ini kemudian dipompa ke tangki pada tingkat 4 L / menit, larutan tercampur dipompa keluar pada tingkat yang sama. Menemukan nomor N (t) gram garam dalam tangki pada waktu t.

Solusi: Dengan data yang diberikan dalam contoh ini kita telah

P (t) = N (t)

n = 4, p = 1, m = 300

dalam model (1.23)

atau 

Ini adalah diferensial linear orde pertama dalam P yang mengintegrasikan faktor

 (Lihat Bagian 2.3)

Solusi yang diberikan oleh

P (t) = 300 + c  

Karena P (0) = 20 diberikan kita mendapatkan

20 = P (0) = 300 + Ce ^0, yang c = -280

Jadi P (t) = 300-280 

4.5 Seri Sirkuit

Biarkan rangkaian seri hanya berisi resistor dan induktor seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4.2 

Gambar 4.2 LR Seri sirkuit

Dengan hukum kedua Kirchhoff jumlah drop tegangan induktor  dan drop tegangan di resistor (iR) adalah sama dengan tegangan terkesan (E (t)) di sirkuit. Saat ini pada waktu t, i (t), adalah solusi dari persamaan diferensial.

 (4.10)

di mana saya dan R adalah konstanta yang dikenal sebagai induktansi dan resistansi masing-masing.

Penurunan tegangan kapasitor dengan kapasitansi C adalah diberikan oleh  , Dimana q adalah muatan pada kapasitor. Oleh karena itu, untuk rangkaian seri ditunjukkan pada Gambar 4.3 kita mendapatkan persamaan berikut dengan menerapkan hukum kedua Kirchhoff

 (4.11) 

Gambar 4.3 RC Seri Sirkuit

Sejak  , (4.11) dapat ditulis sebagai

 (4.12)

Contoh 4.9 Carilah arus dalam rangkaian RL seri di mana resistansi, induktansi, dan tegangan yang konstan. Asumsikan bahwa i (o) = 0, yaitu saat awal adalah nol.

Solusi: Hal ini dimodelkan oleh (4.10)

atau  (4.13)

Karena saya, R dan E adalah konstan

(4.13) adalah persamaan linear orde-pertama dalam i dengan mengintegrasikan faktor

Solusi dari (4.13) adalah

atau i (t) =  (4.14)

Karena saya (0) = 0, c = - 

Menempatkan nilai c dalam (4.14) kita mendapatkan

Contoh 4.10 Sebuah gaya gerak listrik 100-volt diterapkan ke rangkaian seri RC di mana perlawanan adalah 200 ohm dan kapasitansi adalah farad 10 ^-4. Cari muatan q (t) pada kapasitor jika q (0) = 0. Carilah arus i (t).

Solusi: Fenomena ini dimodelkan oleh (4.12):

 , Di mana

R = 200, C = 10 ^-4, E (t) = 100

Jadi

 _(4.15)

Ini adalah persamaan diferensial linear orde-pertama

Faktor mengintegrasikan ini 

dan sehingga solusi dari (4.15) adalah

q (t) e ^50t = 

atau q (t) = 

q (0) = 0 = 

atau  dan begitu

Tapi  dan begitu

i = 

4,6 survivability dengan AIDS

Persamaan (1.31) memberikan kelangsungan fraksi S (t). Ini adalah persamaan dipisahkan dan solusinya adalah

S (t) = S _i + (1-S _i) ^e-kt:

Persamaan yang diberikan adalah

Mengintegrasikan kedua belah pihak, kita mendapatkan

Dalam | S (t)-S _i | =- kt + Inc

atau 

S (t) = S _i + ^ce-kt

Misalkan S (0) = 1 maka c = 1-Si. Oleh karena itu

S (t) = S _i + (1-S _i) ^e-kt

Kita dapat menulis ulang persamaan ini dalam bentuk yang ekuivalen.

S (t) = S _i + (1-S _i) ^{e-t / T}

mana, dalam analogi dengan peluruhan radioaktif nuklir,

T adalah waktu yang dibutuhkan untuk setengah dari bagian fana kohort mati-yaitu, kehidupan setengah hidup.

Contoh 4.11 Pertimbangkan masalah nilai-awal

sebagai survivabilitas dengan AIDS.

a.      Tunjukkan bahwa, pada umumnya, T paruh untuk bagian fana dari kohort mati adalah 

b.     (B) Tunjukkan bahwa solusi dari masalah nilai awal dapat ditulis sebagai

S (t) = S _i + (1-S _i) ^{2-t / T} (4.17)

Solusi: Solusi dari persamaan diferensial terpisah dalam (4.16) adalah

S (t) = (1-S _i) ^e-kt + S _i (4.18)

Misalkan S (t) =  S (0), dan pemecahan untuk t kita mendapatkan kehidupan yang setengah = T = 

(B) Menempatkan  dalam (4.18) kita memperoleh

Pengeringan 4,7 Tank

Dalam Bagian 1.4.8 pemodelan tangki pengeringan dibahas. Persamaan (1.26) model tingkat di mana tingkat air menurun.

Contoh 4.12 Sebuah tangki dalam bentuk berdiri kanan melingkar di ujung silinder bocor air melalui lubang melingkar di bagian bawahnya. Cari h ketinggian air dalam tangki pada setiap waktu t jika tinggi awal air adalah H.

Solusi: Sebagaimana dibahas dalam Bagian 1.4.8, h (t) adalah solusi dari persamaan (1.26), yaitu,

 (4.19)

di mana A adalah luas penampang silinder dan B adalah luas penampang lubang di dasar wadah.

(4.19) dapat ditulis sebagai

atau  mana

Dengan mengintegrasikan persamaan ini kita mendapatkan

Untuk t h = 0 = H dan sebagainya

 Oleh karena itu

h (t) = 

4.8 Ekonomi dan Keuangan

Kami telah menyajikan model penawaran, permintaan dan minat dalam Bagian 1.4.3 peracikan. Kami memecahkan model-model, yaitu persamaan (1.11) dan (1,16).

(1.11), yaitu persamaan

 adalah persamaan diferensial terpisahkan orde pertama. Kita bisa menuliskannya sebagai

dP = k (DS) dt.

Mengintegrasikan kedua belah pihak, kita mendapatkan

P (t) = k (DS) t + A

dimana A adalah konstanta integrasi.

Solusi dari (1.16), yang juga merupakan persamaan dipisahkan, adalah

S (t) = S (0) e ^rt (4.20)

dimana S (0) adalah uang awal dalam rekening

Contoh 4.13 Carilah solusi dari model Contoh 1,21 dengan tidak ada permintaan awal (D (0) = 0).

Solusi: Model ini

Hal ini dapat ditulis sebagai

D ^{1 / 2} dD = k TDT

Mengintegrasikan kedua belah pihak kita mendapatkan

dimana A adalah integrasi konstan. Jika Permintaan D = 0 pada saat awal t = 0, maka A = 0 dan permintaan D (t) pada setiap waktu t diberikan oleh

4,9 Matematika Perempuan Polisi

Waktu kematian orang dibunuh dapat ditentukan dengan bantuan pemodelan melalui persamaan diferensial. Sebuah personil polisi menemukan tubuh orang mati dibunuh dan mungkin masalah ini adalah untuk memperkirakan waktu kematian. Tubuh terletak di ruangan yang dijaga pada 70 derajat konstan F. Bagi beberapa saat setelah kematian, tubuh akan memancarkan panas ke ruang pendingin, menyebabkan suhu tubuh menurun dengan asumsi bahwa suhu korban itu 98.6F normal di saat kematian. Ahli forensik akan mencoba untuk memperkirakan saat ini dari suhu tubuh saat ini dan menghitung berapa lama akan memiliki kehilangan panas untuk mencapai titik ini.

Menurut hukum Newton pendinginan, tubuh akan memancarkan energi panas ke ruang pada laju yang sebanding dengan perbedaan suhu antara tubuh dan ruangan. Jika T (t) adalah suhu tubuh pada waktu t, maka untuk beberapa konstanta k proporsionalitas,

T '(t) = k [T (t) -70]

Ini adalah persamaan diferensial dipisahkan dan ditulis sebagai

Setelah mengintegrasikan kedua belah pihak, orang akan

Dalam | T-70 | = kt + c

Mengambil eksponensial, orang akan

| T-70 | = e ^{kt + C} = Ae ^kt

di mana A = ^C e. Lalu

T-70 = ± Ae ^kt = Jadilah ^kt

Lalu

T (t) = 70 + Jadilah ^kt

Konstanta k dan B dapat ditentukan memberikan informasi berikut ini tersedia: Waktu kedatangan personil polisi, suhu tubuh sesaat setelah kedatangannya, suhu tubuh setelah selang waktu tertentu.

Biarkan petugas tiba di 10:40 dan suhu tubuh 94,4 derajat itu. Ini berarti bahwa jika petugas menganggap 10:40 sebagai t = 0 maka

T (0) = 94,4 = 70 + B dan sebagainya

B = 24,4 memberikan

T (t) = 70 + 24,4 e ^kt.

Biarkan petugas membuat pengukuran suhu yang lain mengatakan setelah 90 menit, yaitu, pada 12:10 dan suhu adalah 89 derajat. Ini berarti bahwa

T (90) = 89 = 70 +24,4 e ^90K

Lalu

sehingga

dan

Petugas kini fungsi temperatur

Dalam rangka untuk mencari kapan terakhir kali tubuh adalah 98,6 (mungkin saat kematian), kita harus memecahkan persamaan waktu

Untuk melakukan hal ini, petugas menulis

dan mengambil logaritma dari kedua belah pihak untuk memperoleh

Oleh karena itu, waktu kematian, menurut model matematika,

 yang sekitar -57.0.7 menit.

Kematian terjadi sekitar 57,07 menit sebelum pengukuran pertama pada 10:40, yaitu di sekitar 21:43

4.10 Distribusi Obat (Konsentrasi) di Tubuh Manusia

Untuk memerangi infeksi untuk manusia dosis obat tubuh yang tepat adalah penting. Karena jumlah obat dalam tubuh manusia menurun dengan obat waktu harus diberikan dalam dosis ganda.Tingkat di mana y tingkat obat dalam meluruh darah pasien dapat dimodelkan oleh persamaan peluruhan

di mana k adalah konstan untuk menjadi eksperimen ditentukan untuk masing-masing obat. Jika awalnya, yaitu pada t = 0 pasien diberikan dosis awal y _p, maka tingkat obat y pada setiap waktu t adalah solusi dari persamaan diferensial di atas, yaitu,

y (t) = y _p ^e-kt

Catatan: 4.10.1 Dalam model ini diasumsikan bahwa obat tertelan diserap langsung yang tidak biasanya terjadi.. Namun, waktu penyerapan kecil dibandingkan dengan waktu antara dosis.

Contoh 4.14: Seorang wakil dari perusahaan farmasi merekomendasikan bahwa obat baru dari perusahaannya akan diberikan setiap jam T dalam dosis kuantitas y _0, untuk jangka waktu.Menemukan obat kondisi mapan dalam tubuh pasien.

Solusi: Karena dosis awal adalah y _0, konsentrasi obat pada waktu t ≥ o ditemukan oleh persamaan y = y ₀ ^e-kt, solusi dari persamaan 

Pada t = T dosis kedua dari y ₀ diambil, yang meningkatkan tingkat obat untuk

y (T) = y ₀ + y ₀ ^e-kT = y ₀ (1 + ^e-kT)

Tingkat obat segera mulai membusuk. Untuk menemukan ekspresi matematika kita memecahkan masalah nilai-awal:

y (T) = y ₀ (1 + ^e-kT)

Memecahkan masalah nilai awal kita mendapatkan

y = y ₀ (1 + ^{e-kT) e-k (tT)}

Persamaan ini memberikan tingkat obat untuk t> T. Dosis ketiga y ₀ adalah yang harus diambil pada t = 2T dan obat sebelum dosis ini diambil diberikan oleh

Dosis y ₀ diambil pada t = 2T meningkatkan tingkat obat untuk

y (2T) = y ₀ + y ₀ (1 + ^{e-kT) e-kT} = y ₀ (1 + ^e-kT + ^e-2kt)

Melanjutkan dengan cara ini, kita menemukan setelah (n +1) dosis th diambil bahwa tingkat obat

y (nT) = y ₀ (1 + ^e-kT + ^e-2kT + ... .. + ^e-NKT)

Kami melihat bahwa tingkat obat setelah (n +1) dosis ^th adalah jumlah dari n suku pertama dari deret geometri, dengan istilah pertama sebagai y _o dan rasio umum ^e-kT. Jumlah ini dapat ditulis sebagai

Sebagai n menjadi besar, tingkat obat mendekati nilai steady state, mengatakan y _s diberikan oleh

y _s = lim y (nT)

n ® ¥ 

=  
Kondisi mapan nilai y _s disebut tingkat kejenuhan obat.

4.11 Masalah Pursuit 

Gambar 4.4

Seekor anjing mengejar kelinci ditunjukkan pada Gambar 4.4. Kelinci dimulai pada posisi (0,0) dan berjalan pada kecepatan konstan v _R sepanjang sumbu-y. Anjing mulai mengejar pada posisi (1,0) dan berjalan pada kecepatan yang konstan v _D sehingga lini penglihatan selalu diarahkan pada kelinci. Jika v _D> v _R, anjing akan menangkap kelinci, jika kelinci akan pergi. Menemukan fungsi mewakili kurva mengejar memberikan jalan anjing berikut. Karena anjing itu selalu berjalan langsung di kelinci selama pengejaran, kemiringan garis pandang antara anjing dan kelinci pada setiap waktu t diberikan oleh

Jika kita mengasumsikan bahwa garis pandang bersinggungan dengan kurva mengejar y = f (x), maka m =  dan karena itu  (4.21)

adalah model matematika dari "Soal Pursuit". Solusi dari (4.21) akan memberikan jalan yang diambil oleh anjing.

Posisi anjing setiap saat t> 0 adalah (x, y), dan koordinat y dari kelinci pada waktu yang sesuai adalah y _R = 0 + v _R v _R t = t, sehingga

atau 

Secara implisit membedakan ungkapan ini sehubungan dengan hasil x

mana 

Ini dapat ditulis sebagai

 (4.22)

Akhirnya, kami mencatat bahwa kecepatan anjing dapat ditulis sebagai

 

Pemecahan ini untuk  , Kami telah

Mensubstitusikan hasil ini ke dalam Persamaan (4.22) menghasilkan

Masukan y '= w, maka persamaan ini mengambil bentuk

atau 

Mengintegrasikan kedua belah pihak kita w dan dengan mengintegrasikan w kita y. Konstanta integrasi dapat ditemukan dengan menggunakan kondisi awal y (1) = 0 dan y ' (1) = 0.

4,12 Pemanenan Sumber Daya Alam Terbarukan

Ada banyak sumber daya alam terbarukan yang manusia ingin menggunakan. Contohnya adalah ikan di sungai dan laut dan pohon dari hutan kita. Sangat diharapkan bahwa kebijakan dikembangkan yang akan memungkinkan panen maksimal dari sumber daya alam terbarukan dan namun tidak menguras bahwa sumber daya di bawah tingkat yang berkelanjutan. Kami memperkenalkan sebuah model matematika menyediakan beberapa wawasan ke dalam manajemen sumber daya terbarukan.

Misalkan P (t) menunjukkan ukuran populasi pada waktu t, model pertumbuhan eksponensial dimulai dengan asumsi bahwa  untuk beberapa k> 0. Dalam model ini tingkat, pertumbuhan relatif atau spesifik didefinisikan oleh

diasumsikan konstan.

Dalam banyak kasus  tidak konstan tetapi fungsi dari P, biarkan

 = F (P)

atau 

Misalkan lingkungan mampu mempertahankan tidak lebih dari K tetap jumlah individu dalam populasi. Jumlah yang disebut daya dukung lingkungan.

Kasus-kasus khusus: (i) f (P) = c ₁ P + c ₂

(Ii) Jika f (0) = r dan f (K) = 0 maka

c ₂ = r dan c ₁ = -  , Dan (i) mengambil formulir

f (P) = r-(  ) P.

Sederhana Terbarukan sumber daya alam model

Persamaan ini juga dapat ditulis sebagai

Contoh 4.15: Tentukan solusi dari model pemanenan berikut

P (o) = P _o

Solusi: Persamaan diferensial 4,15 dapat ditulis sebagai

atau 

atau 

Mengintegrasikan kita mendapatkan

atau 

Mengatur t = 0 dan P = P ₀ kita menemukan c ₁ = (P _o -4) / (P _o -1).

Pemecahan untuk P kita mendapatkan

13. Latihan

Newton Hukum Pendinginan / Pemanasan

1.     Termometer membaca 100 ⁰ F ditempatkan dalam panci minyak dipertahankan pada 10 ⁰ F Apa suhu termometer saat t = 20 detik, jika suhunya 60 ⁰ F bila t = 8 detik?

2.     Sebuah termometer dihapus dari sebuah ruangan di mana suhu udara 60 ⁰ F dan diambil di luar, di mana suhu 10 ⁰ F. Setelah 1 menit termometer membaca 50 ⁰ F. Apa pembacaan termometer pada t = 2 menit? Berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk termometer untuk mencapai 20 ⁰ F.

3.     Air dipanaskan sampai suhu titik didih 120 ⁰ C. Hal ini kemudian dihapus dari kompor dan disimpan di kamar 30 ⁰ C suhu. Dengan asumsi bahwa tidak ada perubahan dalam suhu ruangan dan suhu air panas 110 ^o C setelah 3 menit. (A) Tentukan suhu air setelah 6 menit (b) Tentukan durasi di mana air akan mendingin ke suhu kamar?

Populasi Pertumbuhan dan peluruhan

4.     Sebuah budaya awalnya memiliki sejumlah P _o bakteri. Pada jam t = 1, jumlah bakteri diukur harus  P _0. Jika tingkat pertumbuhan sebanding dengan jumlah bakteri P (t) hadir pada waktu t, menentukan waktu yang diperlukan untuk jumlah bakteri untuk triple.

5.     Selesaikan persamaan diferensial logistik:

6.     Serangga peningkatan tangki pada tingkat proporsional sampai sekarang nomor. Jika nomor meningkat dari 50.000 menjadi 100.000 dalam satu jam, berapa banyak serangga yang hadir pada akhir dua jam.

7.     Diperkirakan bahwa populasi manusia bumi pada tahun 1961 adalah 3060000000. Dengan asumsi populasi meningkat pada tingkat 2 persen, menemukan penduduk bumi pada tahun 1996 model menggunakan pertumbuhan penduduk (1,8). Periksa nomor ini dengan populasi yang sebenarnya bumi yang tersedia dari sumber-sumber otentik.

Radio-aktif Decay dan Karbon Kencan

8.     Sebuah reaktor peternak mengubah uranium yang relatif stabil 238 ke 239 isotop plutonium. Setelah 30 tahun itu ditentukan bahwa 0,022% dari jumlah awal N ₀ plutonium telah hancur. Cari paruh isotop ini jika laju disintegrasi di sebanding dengan jumlah yang tersisa.

9.     Isotop radioaktif timbal, Pb-209, meluruh pada tingkat proporsional dengan jumlah hadir pada waktu t dan memiliki paruh 4 jam. Jika 1 gram timbal hadir awalnya, berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk 80% dari memimpin membusuk?

10. Memecahkan model diperoleh dalam Latihan 32 bab 1.

11. Pada penggalian 1950 di Nippur, kota Babilonia, arang dari balok atap memberikan hitungan 4,09 dis / menit / g. Hidup memberi kayu 6,68 disintegrasi. Dengan asumsi bahwa arang ini dibentuk pada masa pemerintahan Hammurabi, menemukan perkiraan untuk waktu kemungkinan suksesi Hammurabi.

Campuran Dua Solusi Garam

12. Sebuah tangki dengan kapasitas 600 liter awalnya berisi 200 liter air murni. Sebuah larutan garam yang mengandung 3 Kg garam per liter yang diperbolehkan untuk berjalan ke dalam tangki pada tingkat 16 menyala / menit, dan campuran ini kemudian dihapus pada tingkat 12 menyala / min. Cari ungkapan untuk jumlah Kilogram garam dalam tangki pada setiap waktu t.

13. Sebuah tangki besar diisi dengan 600 liter air murni. Air garam yang mengandung garam 2 Kg per liter dipompa ke tangki pada tingkat 5 liter / menit. Solusi tercampur dipompa keluar pada tingkat yang sama. Menemukan nomor P (t) kilogram garam dalam tangki pada waktu t. Berapa konsentrasi larutan dalam tangki pada saat t = 10 menit?

14. Sebuah tangki 250 liter berisi 100 liter air murni. Air garam yang mengandung 4 kg garam per liter mengalir ke dalam tangki pada 5 menyala / jam. Jika campuran diaduk dengan baik mengalir keluar pada 3 menyala / jam, menemukan konsentrasi garam dalam tangki pada saat itu diisi ke atas.

Seri sirkuit

15. Sebuah rangkaian RL seri memiliki resistansi 20 ohm, dan induktansi 1 henry, dan tegangan terkesan dari 12 volt.